考研数学不等式

考研中不等式是一个重要的知识点，以下是一些基本的不等式及其在考研数学中的应用：

基本不等式

AM-GM不等式（算术平均-几何平均不等式）：对于任意非负实数 \（a_1, a_2, ..., a_n\），有 \（\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\）。

Cauchy-Schwarz不等式：对于任意实数序列 \（a_1, a_2, ..., a_n\）和 \（b_1, b_2, ..., b_n\），有 \（（a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2）\）。

柯西不等式：对于任意实数序列 \（a_1, a_2, ..., a_n\）和 \（b_1, b_2, ..., b_n\），有 \（（a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2）\）。

特殊不等式

伯努利不等式：对于任意实数 \（h > -1\）和正整数 \（n\），有 \（（1 + h）^n \geq 1 + nh\）。

切比雪夫不等式：对于任意实数 \（a\）和 \（b\），以及任意正数 \（k\），有 \（P（|X - E（X）| \geq k） \leq \frac{Var（X）}{k^2}\）。

不等式证明技巧

利用单调性证明不等式。

利用中值定理证明不等式。

利用凹凸性证明不等式。

利用最值证明不等式。

应用实例

在证明积分不等式时，可以考虑使用变限积分求导的方法。

利用泰勒公式结合放缩法处理某些积分不等式问题。

对于某些复杂的函数，可以通过构造辅助函数利用函数的凹凸性来证明不等式。