常用不等式公式考研

考研中常用的不等式公式包括但不限于以下几种：

对于任意正数 \（a\）和 \（b\），有：

\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]

等号成立当且仅当 \（a = b\）。

对于任意两个非负实数 \（a\）和 \（b\），有：

\[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \]

等号成立当且仅当 \（a = b\）。

对于任意两个非负实数 \（a\）和 \（b\），有：

\[ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \]

等号成立当且仅当 \（a = b\）。

对于任意两个正实数 \（a\）和 \（b\），有：

\[ ab \leq \left（\frac{a + b}{2}\right）^2 \]

等号成立当且仅当 \（a = b\）。

对于任意两个实数 \（a\）和 \（b\），有：

\[ |a - b| \leq |a| + |b| \]

等号成立当且仅当 \（ab \leq 0\），即 \（a\）和 \（b\）异号。

柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：

对于任意两组非负实数 \（a_i\）和 \（b_i\），有：

\[ \left（\sum_{i=1}^n a_i b_i\right）^2 \leq \left（\sum_{i=1}^n a_i^2\right） \left（\sum_{i=1}^n b_i^2\right） \]

等号成立当且仅当 \（\frac{a_i}{b_i}\）对于所有 \（i\）都相等。

常用极限公式（例如洛必达法则）：

当 \（\lim_{x \to c} \frac{f'（x）}{g'（x）}\）存在时，有：

\[ \lim_{x \to c} \frac{f（x）}{g（x）} = \lim_{x \to c} \frac{f'（x）}{g'（x）} \]

定积分不等式（例如积分中值定理）：

如果函数 \（f（x）\）在区间 \（[a, b]\）上连续，则存在 \（c \in [a, b]\），使得：

\[ \int_a^b f（x） \, dx = f（c）（b - a） \]

以上不等式在考研数学中非常重要，掌握它们有助于解决许多问题。这些公式通常会在高等数学、线性代数和概率论与数理统计等科目中出现。